Question

【题目】如图平面PAC⊥平面ABC， AC⊥BC，PE// BC，M，N分别是AE，AP的中点，且△PAC是边长为2的等边三角形，BC=3，PE =2.

（1）求证:MN⊥平面PAC；

（2）求平面PAE与平面ABC夹角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由三角形中位线可得，由面面垂直性质定理可得平面，进而可得结果；

（2）取AC的中点F，连接PF，取AB的中点G，连接GF，以F为坐标原点，FC为x轴，FG为y轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PAE与平面ABC的法向量，求出法向量的夹角即可得出结果.

（1）证明： 分别是的中点，

是的一条中位线，，

又，

平面平面，交线为AC，且，

平面，又，平面

（2）取AC的中点F，连接PF

为的等边三角形，

又平面平面，交线为AC

平面

取AB的中点G，连接GF

易知，又平面平面ABC

平面

故以F为坐标原点，FC为x轴，FG为y轴建立空间直角坐标系

则，A(-1，0，0)，E(0，2，)，，

设=(x，y，z)为平面PAE的一个法向量

则 ，

令，则x=-3，y=0， 所以

由平面知，为平面ABC的一个法向量

设平面PAE与平面ABC的夹角为

则

即平面PAE与平面夹角的余弦值为.