Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求曲线与曲线的公切线的方程；

（2）设函数的两个极值点为，求证：关于的方程有唯一解．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）求两条曲线的公切线，分别求出各自的切线，然后两条切线为同一条直线，结合两个方程求解；

（2）要证明关于的方程有唯一解，只要证明即可，由于当时，单调递增，不可能有两个零点，故不可能有两个极值点，故，利用得，又，接下来只要证明，即，令，则只要证明即可，用导数即可证明．

（1）曲线在切点处的切线方程为

，即，

曲线在切点处的切线方程为

，即，

由曲线与曲线存在公切线，

得，得，即．

令，则，

，解得，∴在上单调递增，

，解得，∴在上单调递减，

又，∴，则，

故公切线方程为．

（2）要证明关于的方程有唯一解，

只要证明，

先证明：．

∵有两个极值点，

∴有两个不同的零点，

令，则，

当时，恒成立，∴单调递增，不可能有两个零点；

当时，，则，∴在上单调递增，

，则，∴在上单调递减，

又时，，时，，

∴，得，∴．

易知，

由，得，，

∴．

下面再证明：．

，

令，则只需证，

令，

则，

∴，得．

∴有唯一解．