Question

7．若抛物线y²=2px（p＞0）上一点M到准线及对称轴的距离分别为5和4，若点M在焦点F的右侧，则此时M点的横坐标为1或4，抛物线方程为y²=4x或y²=16x．

Answer 1

分析 根据题意可知M的纵坐标为4，设M（a，4），利用点M在抛物线上和抛物线的定义，即可得到关于p的一个方程，求解即可得到p的值，从而求得点M的横坐标、抛物线方程．

解答 解：∵M是抛物线y²=2px（p＞0）上的点，且M到对称轴的距离为4，
则M的纵坐标为4，设M（a，4），
根据M是抛物线y²=2px（p＞0）上的点，
∴4²=2pa，故a=$\frac{8}{p}$，
根据抛物线的性质可知，M到此抛物线的准线的距离为$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$，
又∵M到此抛物线的准线的距离为5，
∴$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$=5，
即p²-10p+16=0，
解得p=2或p=8，
故a=4或a=1，
点M的横坐标为1或4．抛物线方程为y²=4x或y²=16x
故答案为：1或4；y²=4x或y²=16x．

点评 本题考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，抛物线的性质．求解圆锥曲线相关问题时，要注意其定义的应用，比如抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，解题时要多注意它的运用．属于中档题．