Question

．设直线与抛物线交于不同两点、，点为抛物线准线上的一点。

（I）若，且三角形的面积为4,求抛物线的方程；

（II）当为正三角形时，求出点的坐标。

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）  ， 

【解析】本试题主要是考查了直线与抛物线的位置关系的运用，求解抛物线的方程，以及正三角形中边的关系的运用。

（1）利用直线方程与抛物线方程联立，得到满足三角形面积的参数p的值，得到抛物线方程。

（2）将含有参数t的直线与抛物线方程联立，那么可知韦达定理中坐标的关系式，以及正三角形中边的坐标关系，进而分析得到参数t的值和点D的坐标。

解：（I）直线过焦点

时，不妨设，则,

又点到直线的距离 

所以=4

抛物线的方程为                   …

…4分

（II）设

    由得则

   从而

线段AB的中点为              …………6分

由得,即，解得

从而

……10分

由得到= ，  …………13分

解                 …………14分

此时，点    …………15分