Question

设F₁是椭圆x²+

y2

4

=1的下焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则

PF1

•

PO

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆的标准方程求出F₁的坐标（0，-

3

），设P（x，y），所以可求出向量

PF1

，

PO

的坐标，所以结合点P满足椭圆的方程，可求出

PF1

•

PO

=(

3

2

y+1)2，而y∈[-2，2]，所以y=2时

PF1

•

PO

取到最大值，所以将y=2带入即可求出该最大值．

解答： 解：根据椭圆的标准方程知F1(0，-

3

)，设P（x，y），则：

PF1

•

PO

=(-x，-

3

-y)•(-x，-y)=x2+

3

y+y2=1-

y2

4

+

3

y+y2=

3

4

y2+

3

y+1=(

3

2

y+1)2；
又-2≤y≤2；
∴y=2时，

PF1

•

PO

取最大值4+2

3

．
故答案为：4+2

3

．

点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，以及向量数量积的坐标运算，以及观察法求二次函数的最值．