Question

5．已知数列{a_n}•{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{$\frac{{2}^{n}}{{b}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1．可得：b_n=（b_n+1）b_n+1，化为：$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=1．再利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）$\frac{{2}^{n}}{{b}_{n}}$=n•2ⁿ，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1．
∴b_n=（b_n+1）b_n+1，化为：$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=1．
∴数列$\{\frac{1}{{b}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为1．
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=1+（n-1）=n，
可得b_n=$\frac{1}{n}$．
（II）$\frac{{2}^{n}}{{b}_{n}}$=n•2ⁿ．
∴数列{$\frac{{2}^{n}}{{b}_{n}}$}的前n项和S_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=$\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了递推关系、“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．