Question

如图，已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点E（3，0），设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求•的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先利用离心率为 得到关于a，b，c之间的关系，再结合点O到直线AB的距离为 ，即可求出a，b，c，进而得到椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）先利用EP⊥EQ把所求问题转化为 ，再利用点P在抛物线上，利用抛物线上的点的范围限制即可求出 的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由离心率 ，得 ∴a=2b①
∵原点O到直线AB的距离为
∴②，
将①代入②，得b²=9，∴a²=36
则椭圆C的标准方程为
（Ⅱ）因为EP⊥EQ∴
∴
设P（x，y），则 ，即
∴
∵-6≤x≤6，∴
则 的最小值为：6．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．解决第一问的关键是利用条件列出关于a，b，c之间的方程．第二问重点是数量积的应用，二次函数的最值的应用，考查计算能力，转化思想．