Question

如图，已知中心在原点0、焦点在x轴上的椭圆T过点M（2，1），离心率为

3

2

；抛物线C顶点在原点，对称轴为x轴且过点M．
（Ⅰ）当直线l₀经过椭圆T的左焦点且平行于OM时，求直线l₀的方程；（Ⅱ）若斜率为-

1

4

的直线l不过点M，与抛物线C交于A、B两个不同的点，求证：直线MA，MB与X轴总围成等腰三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率得到长半轴和短半轴之间的关系，设出椭圆的方程，代入M点的坐标，求出椭圆方程后得到半焦距，求出OM的斜率，则直线l₀的方程可求；
（Ⅱ）由题意设出抛物线方程，代入点M的坐标求出抛物线方程，再设出A，B的坐标，由两点式写出AB的斜率，结合斜率为-

1

4

求出A，B的纵坐标的和，再由MA和MB的斜率和等于0证出直线MA，MB与X轴总围成等腰三角形．

解答：（Ⅰ）解：由e=

c

a

=

3

2

，得

c2

a2

=

3

4

，

a2-b2

a2

=

3

4

，∴a²=4b²．
设椭圆T的方程为

x2

4b2

+

y2

b2

=1．
将点M（2，1）代入椭圆方程得：

4

4b2

+

1

b2

=1，解得b²=2．
∴a²=8．
∴椭圆T的方程为

x2

8

+

y2

2

=1．
则c=

a2-b2

=

8-2

=

6

．
因此左焦点为(-

6

，0)，kl0=kOM=

1

2

．
∴直线l₀的方程为y=

1

2

(x+

6

)，
即y=

1

2

x+

6

2

；
（Ⅱ）证明：如图，

设抛物线方程为y²=2px（p＞0），
代入M的坐标得：1=4p，解得：p=

1

4

．
∴抛物线C的方程为：y2=

1

2

x．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，
则k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

．
kAB=

y2-y1

x2-x1

=

1

2(y1+y2)

=-

1

4

，∴y₁+y₂=-2．
k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

1

2(y1+1)

+

1

2(y2+1)

=

y1+y2+2

2(y1+1)(y2+1)

=0．
∴直线MA，MB与X轴总围成等腰三角形．

点评：本题考查了直线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了数学转化思想方法，解答的关键是把要证明的问题转化为两直线的斜率和等于0，是高考试卷中的压轴题．