Question

3．二次函数f（x）的开口向上，且对?x∈R，都有f（x）=f（4-x）成立，若f（1-2x²）＜f（1+2x-x²），则实数x的取值范围是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（0，2）
• C． （-2，0）
• D． （-∞，-2）∪（0，+∞）

Answer 1

分析 由条件“对任意项x∈R都有f（x）=f（4-x）”可得函数f（x）的对称轴为x=2，得到函数f（x）在（-∞，2]上是单调减函数，所以利用二次函数的单调性建立不等式关系，解之即可．

解答 解：∵对任意项x∈R都有f（x）=f（4-x），
∴函数f（x）的对称轴为x=2，
而函数的开口向上，则函数f（x）在（-∞，2]上是单调减函数
∵1-2x²≤1，1+2x-x²=-（x-1）²+2≤2，f（1-2x²）＜f（1+2x-x²）
∴1-2x²＞1+2x-x²，解得-2＜x＜0，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性的应用，以及函数图象的对称性的应用，属于中档题．