Question

如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，且AB=AD，BC=DC．
（1）求证：BD∥平面EFGH；
（2）求证：四边形EFGH是矩形．

Answer 1

证明：（1）∵E，H分别为AB，DA的中点，
∴EH∥BD，又BD?平面EFGH，EH?平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH．…（4分）
（2）取BD中点O，连续OA，OC，∵AB=AD，BC=DC．∴AO⊥BD，CO⊥BD．
又AO∩CO=0．∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC．   …（7分）
∵E，F，G，H为AB，BC，CD，DA的中点．
∴EH∥BD，且EH=

1

2

BD；FG∥BD，且FG=

1

2

BD，EF∥AC．
∴EH∥FG，且EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形．…（10分）
由AC⊥BD、EF∥AC、EH∥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH为矩形．    …（12分）