Question

甲乙丙三位棋手按如下规则进行比赛：第一局由甲乙参加而丙轮空，由第一局的胜者与丙进行第二局比赛，败者轮空，使用这种方式一直进行到其中一人连胜两局为止，此人成为整场比赛的优胜者．甲乙丙胜各局的概率都为0.5，求甲乙丙分别成为整场比赛优胜者的概率．

Answer 1

考点：相互独立事件的概率乘法公式,互斥事件的概率加法公式

专题：概率与统计

分析：利用无穷递缩等比数列的各项和的求法求得甲可以在第2局获胜，即开始两局（第1局和第2局）连续获胜，还可以在第5局，第8局，…第3n-1局获胜的概率，再求得甲在第4局获胜，即前两局没人获胜，第3局和第4局甲连胜，以后还可以在第7局，第10局，…第3n+1局获胜的概率，再把这2个概率相加，即得所求．

解答： 解：按此规则，甲如果获胜，可以分成两类：
（1）甲可以在第2局获胜，即开始两局（第1局和第2局）连续获胜，还可以在第5局，第8局，…第3n-1局获胜（第n轮，每三场比赛为一轮），
其概率为：P=

1 4

1- 1 8

=

2

7

（无穷递缩等比数列所有项之和，首项

1

4

，公比

1

8

）．
（2）甲还可以在第4局获胜，即前两局没人获胜，第3局和第4局甲连胜，以后还可以在第7局，第10局，…第3n+1局获胜，其概率为：
P=

1 16

1- 1 8

=

1

14

（无穷递缩等比数列所有项之和，首项

1

16

，公比

1

8

）；所以甲获胜的概率为：

2

7

+

1

14

 

5

14

，
而乙与甲获胜概率相等，也为

5

14

，因此丙获胜的概率为：

4

14

．

点评：本题主要考查无穷递缩等比数列的各项和的求法，互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．