Question

18．某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室（如图所示），ABCD是一个标出为50m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40m，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G，M分别在AB和AD上，H在$\widehat{EF}$上，设矩形AGHM的面积为S，∠HCF=θ．
（I）请将S表示为θ的函数，并指出当点H在$\widehat{EF}$的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少？
（Ⅱ）由上面函数建立的思想，试求$f（x）=x\sqrt{4-{x^2}}$的最大值．

Answer 1

分析 （I）延长GH交CD于N，则NH=40sinθ，CH=40cosθ，求出S的表达式，通过换元法，利用正弦函数的有界性求解即可．
（II）设x=2cosθ，θ∈[0，π]，三角换元则函数化求解函数的最值．

解答 解：（I）延长GH交CD于N，则NH=40sinθ，CH=40cosθ，
∴HM=ND=50-40cosθ，AM=50-40sinθ，
故S=（50-40cosθ）（50-40sinθ）
=$100[{25-20（{sinθ+cosθ}）+16sinθcosθ}]（{0≤θ≤\frac{π}{2}}）$．
令$t=sinθ+cosθ=\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）$，则$sinθcosθ=\frac{{{t^2}-1}}{2}$，且$t∈[{1，\sqrt{2}}]$∴$S=100[{25-20t+8{{（{t-1}）}^2}}]=800{（{t-\frac{5}{4}}）^2}+450$
又$t∈[{1，\sqrt{2}}]$，∴当t=1时，S_max=500，此时$\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）=1⇒sin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$∵$\frac{π}{4}≤θ+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}∴θ+\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，即θ=0或$θ=\frac{π}{2}$；
（II）设x=2cosθ，θ∈[0，π]，三角换元则函数化为$y=2cosθ•\sqrt{4-{{（{2cosθ}）}^2}}=2cosθ•2sinθ=2sin2θ$，
∴y_max=2．

点评 本题考查三角函数的有界性的应用，换元法求解函数的最值，考查转化思想以及计算能力．