Question

9．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥侧面BB₁C₁C，且侧面AA₁B₁B为正方形，侧面BB₁C₁C为菱形，∠BB₁C₁=60°．
（1）求证：B₁C⊥AC₁；
（2）若点E是B₁C的中点，点F是AA₁的中点，求证：EF∥平面ABC．

Answer 1

分析 考察空间立体几何线面平行的判定与线面垂直的性质．
第1题利用线面垂直的基本判定定理来证明B₁C⊥平面ABC1，从而得到B₁C⊥AC₁；
第2题充分利用三角形中位线，构造平行四边形等方法来证明线面平行，关键是要证明四边形GEFA为平行四边形．

解答 证明：（1）连接BC₁，在正方形ABB₁A₁中，AB⊥BB₁．
因为平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C，平面AA₁B₁B∩平面BB₁C₁C=BB₁，AB?平面ABB₁A₁，所以AB⊥平面BB₁C₁C．
因为B₁C?平面BB₁C₁C，所以AB⊥B₁C．
在菱形BB₁C₁C中，BC₁⊥B₁C．
因为BC₁?平面ABC₁，AB?平面ABC₁．
BC₁∩AB=B，所以B₁C⊥平面ABC₁．故得证：B₁C⊥AC₁．
（2）取BC的中点G，连接GE，GA．因为E是B₁C的中点，
所以GE∥BB₁，且GE=$\frac{1}{2}$BB₁．
因为F是AA₁的中点，所以AF=$\frac{1}{2}$AA₁．
在正方形ABB₁A₁中，AA₁∥BB₁，AA₁=BB₁．
所以GE∥AF，且GE=AF
所以四边形GEFA为平行四边形，所以EF∥GA．
因为EF?平面ABC，GA?平面ABC，所以EF∥平面ABC．

点评 构造平行四边形来证明线面平行，是高中阶段证明的线面平行的一种常用方法．