Question

【题目】（本小题满分为14分）已知定义域为R的函数是奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a＝2，b＝1.（2）

【解析】试题分析：（1）由函数是奇函数可得，将代入两个特殊值得到关于的方程组求解其值；（2）首先利用定义法判断函数的单调性，利用奇函数将不等式变形为f（x2-x）< f（-2x2+t），，利用单调性得到关于的恒成立不等式，分离参数后通过求函数最值得到的取值范围

试题解析：（1）∵f（x）是奇函数且0∈R，∴f（0）=0即

∴

又由f（1）=-f（-1）知 a=2

∴f（x）=

（2）证明设x1,x2∈（-∞,+∞）且x1<x2

·

∵y=2x在（-∞,+∞）上为增函数且x1<x2，∴

且y=2x>0恒成立，∴

∴f（x1）-f（x2）>0 即f（x1）>f（x2）

∴f（x）在（-∞,+∞）上为减函数

∵f（x）是奇函数f（x2-x）+f（2x2-t）<0等价于f（x2-x）<-f（2x2-t）=f（-2x2+t）

又∵f（x）是减函数，∴x2-x>-2x2+t

即一切x∈R，3x2-x-t>0恒成立

∴△=1+12t<0，即t<