Question

（本小题满分14分）

已知函数（其中，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．

(Ⅰ)当时，求函数的极值；

(Ⅱ)若恒成立，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)求证：对任意正整数n，都有．

Answer 1

(Ⅰ)函数在处取得极小值，函数无极大值．(Ⅱ) (Ⅲ)证明略

【解析】

试题分析：第一步把代入函数解析式，，求极值要先求导数，，令，求出极值点，根据函数单调性求出极小值；第二步，求导数，下面针对进行讨论，由于恒成立，只需的最小值大于或等于零，最后求实数a的取值范围；

第三步依据第二步的结论，令，则，有，令()，得，

把从取---时的n个不等式相加，之后用放缩法证明出结论.

试题解析：(Ⅰ) 当时，，，

当时，；当时，．

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在处取得极小值，函数无极大值．

(Ⅱ)由，，

若，则，函数单调递增，当x趋近于负无穷大时，趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，故函数存在唯一零点，当时，；当时，．故不满足条件．

若，恒成立，满足条件．

若，由，得，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，由得，解得．

综上，满足恒成立时实数a的取值范围是．

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当时，恒成立，所以恒成立，

即，所以，令()，得，

则有，

所以，所以，即．

考点：1.利用导数求极值；2.利用导数导数求函数最值；3.利用导数证明不等式；本题是导数的综合应用；