Question

已知cos（α-β）=-

12

13

，cos（α+β）=

12

13

，且α-β∈（

π

2

，π），α+β∈（

3π

2

，2π），求角β的值．

Answer 1

分析：由所给角的范围及其三角函数值可得sin（α-β）=

5

13

，sin（α+β）=-

5

13

，利用两角差的余弦公式可得
cos[（α+β）-（α-β）]，即cos2β，由已知可得2β的范围，从而可得2β的值，进而求得β．

解答：解：由α-β∈(

π

2

，π)，且cos（α-β）=-

12

13

，得sin（α-β）=

5

13

，
由α+β∈（

3

2

π，2π），且cos（α+β）=

12

13

，得sin（α+β）=-

5

13

，
所以cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]
=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）
=

12

13

×(-

12

13

)+(-

5

13

)×

5

13

=-1，
又∵α+β∈(

3

2

π，2π)，α-β∈(

π

2

，π)，
∴2β∈(

π

2

，

3

2

π)，∴2β=π，
所以β=

π

2

．

点评：本题考查两角和与差的余弦公式、同角三角函数间的关系，考查学生的运算能力，属中档题．