Question

设函数，且，其中是自然对数的底数.

（1）求与的关系；

（2）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；

（3）设，若在上至少存在一点，使得＞成立，

求实数的取值范围.

Answer 1

（1）

（2）只需在内满足：恒成立

（3）

解析:

（1）由题意得                    …………1分

  而，

所以、的关系为                             ………… 2分

（2）由（1）知，

令，要使在其定义域内是单调函数，

只需在内满足：恒成立.       ………… 4分

① 当时，，因为＞，所以＜0，＜0，

 ∴在内是单调递减函数，即适合题意；         ………… 5分

② 当＞0时，

其图像为开口向上的抛物线，对称轴为，

∴，只需，即，

∴在内为单调递增函数，故适合题意.      …………  7分

③ 当＜0时，，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为，只要，即时，在恒成立，

故＜0适合题意.综上所述，的取值范围为       ………… 9分

（3）∵在上是减函数，

 ∴时，；时，，

即，                                       …………10  分

当时，由（2）知在上递减＜2，不合题意；

 ② 当0＜＜1时，由，

又由（2）知当时，在上是增函数，

  ∴

＜， 不合题意；              …………12 分、

③ 当时，由（2）知在上是增函数，

＜2，又在上是减函数，

故只需＞， ，

而，

， 即  ＞2，解得＞ ，…………13  分

综上，的取值范围是.                             ……14分