Question

设函数，且，其中是自然对数的底数.

   （1）求与的关系； （2）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；   （3）设，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（1）由题意得  

      而，所以、的关系为    

   （2）由（1）知，

    令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内满足：恒成立.     

①当时，，因为＞，所以＜0，＜0，

   ∴在内是单调递减函数，即适合题意；

    ②当＞0时，，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为，

    ∴，只需，即，

    ∴在内为单调递增函数，  故适合题意.

    ③当＜0时，，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为，只要， 即时，在恒成立，故＜0适合题意. 

    综上所述，的取值范围为.      

   （3）∵在上是减函数，∴时，；时，，

即，

    ①当时，由（2）知在上递减＜2，不合题意；                                     

    ②当0＜＜1时，由，又由（2）知当时，在上是增函数，

     ∴＜，不合题意；                                           

    ③当时，由（2）知在上是增函数，＜2，又在上是减函数，

    故只需＞， ， 而，，

    即  ＞2，解得＞ ，综上，的取值范围是.