Question

10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，最大值为3，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）若f（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{7}{5}$，求sinθ．

Answer 1

分析 （1）由图象上相邻两个最高点的距离为π，利用正弦函数的图象和性质即可得解?（x）的最小正周期．
（2）由已知可求A，利用周期公式可求ω，进而可求2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k=0，k∈Z，即φ=kπ-$\frac{π}{6}$，结合范围$-\frac{π}{2}≤φ≤\frac{π}{2}$，可求φ，从而可求f（x）的解析式．
（3）由已知利用诱导公式可求$cosθ=\frac{1}{5}$，从而利用同角三角函数基本关系式可求sinθ．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵图象上相邻两个最高点的距离为π．
∴?（x）的最小正周期T=π．…（4分）
（2）∵最大值为3，
∴A+1=3，
∴A=2．
由（1）知?（x）的最小正周期T=π，∴ω=2．
又∵f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，
∴2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k=0，k∈Z，则φ=kπ-$\frac{π}{6}$．
又∵$-\frac{π}{2}≤φ≤\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{6}$．
∴函数f（x）的解析式为$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{6}）+1$．…（8分）
（3）∵$f（\frac{θ}{2}+\frac{π}{3}）=2sin[2（\frac{θ}{2}+\frac{π}{3}）-\frac{π}{6}]+1=2sin（θ+\frac{π}{2}）+1=2cosθ+1=\frac{7}{5}$，
∴$cosθ=\frac{1}{5}$，
∴$sinθ=±\sqrt{1-{{cos}^2}θ}=±\sqrt{1-{{（\frac{1}{5}）}^2}}=±\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，三角函数周期公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式，考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．