题目内容

已知函数f（x）满足：f（x+y）=f（（x）f（y），f（1）=3，数列{an}满足an=f（n），则
a12+a2
a1
+
a22+a4
a3
+
a32+a6
a5
+
a42+a8
a7
+…+
an2+a2n
a2n-1
=
6n
6n
．
分析：由题意可求得a1=f（1）=3，a2=32，a3=33，…，an=f（n）=3n，从而可求得bn=
an2+a2n
a2n-1
=6，继而可求得答案．
解答：解：∵f（x+y）=f（x）f（y），f（1）=3，
∴f（1+1）=f（1）•f（1），
即a2=f（2）=32，
同理可求，a3=33，
…，
an=f（n）=3n，
令得bn=
an2+a2n
a2n-1
，
则bn=
an2+a2n
a2n-1
=
32n+32n
32n-1
=
2×32n
32n-1
=6，
∴
a12+a2
a1
+
a22+a4
a3
+
a32+a6
a5
+
a42+a8
a7
+…+
an2+a2n
a2n-1
=6+6+…+6=6n．
故答案为：6n．
点评：本题考查数列的求和，考查等比数列的通项公式及其应用，求得an=3n是关键，考查综合分析与运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f(1)=
1
2
．
（1）若n∈N*时，求f（n）的表达式；
（2）设bn=
nf(n+1)
f(n)
  (n∈N*)，sn=b1+b2+…+bn，求
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn
．
已知函数f（x） 满足f（x+4）=x3+2，则f-1（1）等于（　　）
已知函数f（x）满足f（x）+f'（0）-e-x=-1，函数g（x）=-λlnf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）当x≥0时，曲线y=f（x）在点M（t，f（t））的切线与x轴、y轴围成的三角形面积为S（t），求S（t）的最大值；
（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]时恒成立，求t的取值范围；
（3）设函数h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常数m∈Z，且m＞1，试判定函数h（x）在区间[e-m-m，e2m-m]内的零点个数，并作出证明．
已知函数f（x）满足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，则
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+
f2(4)+f(8)
f(7)
=
24．
24．
．
（2012•珠海二模）已知函数f（x）满足：当x≥1时，f（x）=f（x-1）；当x＜1时，f（x）=2x，则f（log27）=（　　）

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