Question

19．下列函数中：
（1）$y=|x|+\frac{1}{|x|}$（2）$y=\frac{{{x^2}+5}}{{\sqrt{{x^2}+4}}}$（3）$y=\sqrt{x}+\frac{4}{{\sqrt{x}}}-2$（4）$y=\frac{{{x^2}-2x+4}}{x}$（5）$y=sinx+\frac{1}{sinx}（0＜x＜\frac{π}{2}）$，其中最小值为2的函数是（1）（3） （填正确命题的序号）

Answer 1

分析 由基本不等式求最值的“一正、二定、三相等”，逐个选项验证可得．

解答 解：（1）$y=|x|+\frac{1}{|x|}$≥2$\sqrt{|x|•\frac{1}{|x|}}$=2，当且仅当|x|=$\frac{1}{|x|}$即x=±1时取等号，故正确；
（2）$y=\frac{{{x^2}+5}}{{\sqrt{{x^2}+4}}}$=$\frac{{x}^{2}+4+1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$≥2，但当$\sqrt{{x}^{2}+4}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$时，x不存在，故错误；
（3）$y=\sqrt{x}+\frac{4}{{\sqrt{x}}}-2$≥2$\sqrt{\sqrt{x}•\frac{4}{\sqrt{x}}}$-2=2，当且仅当$\sqrt{x}$=$\frac{4}{\sqrt{x}}$即x=4时取等号，故正确；
（4）$y=\frac{{{x^2}-2x+4}}{x}$的x正负不确定，当x为负数时，得不出最小值为2，故错误；
（5）$y=sinx+\frac{1}{sinx}（0＜x＜\frac{π}{2}）$，取等号的条件为sinx=$\frac{1}{sinx}$即sinx=1，而当0＜x＜$\frac{π}{2}$时sinx取不到1，故错误．
故答案为：（1）（3）．

点评 本题考查基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”是解决问题的关键，属基础题．