Question

设a∈R，函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

（2a+1）x²+（a²+a）x．
（Ⅰ）已知f′（x）是f（x）的导函数，且g（x）=

f′(x)

x

（x≠0）为奇函数，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=2处取得极小值，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数f（x）的导数f'（x），得到g（x）的表达式，再由奇函数的定义，即可得到a；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，求出单调区间，得到极值，令极小值点为2，解出a，进而得到单调增区间．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a），
故 g(x)=

f′(x)

x

=x+

a2+a

x

-(2a+1)，x≠0，
∵g(x)=

f′(x)

x

(x≠0)为奇函数，
∴?x≠0，g（-x）+g（x）=0，即2a+1=0，
∴a=-

1

2

；                                
（Ⅱ）f'（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）=（x-a）[x-（a+1）]，
列表如下：

x	（-∞，a）	（a，a+1）	（a+1，+∞）
f'（x）	+	-	+

∴f（x）在x=a+1处取得极小值，在x=a处取得极大值，
由题设a+1=2，∴a=1；              
所以函数的递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查函数的奇偶性及运用，考查求导的运算能力，属于中档题．