题目内容
【题目】已知
，如图，曲线
由曲线
：
和曲线
：
组成，其中点
为曲线所在圆锥曲线的焦点，点
为曲线所在圆锥曲线的焦点.
（Ⅰ）若
，求曲线的方程；
（Ⅱ）如图，作直线
平行于曲线的渐近线，交曲线于点
，求证：弦
的中点
必在曲线的另一条渐近线上；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线
过点
交曲线于点
，求
面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）
和
.；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）
.
【解析】
(Ⅰ)由
，可得
，解出即可；
(Ⅱ)设点
，设直线
，与椭圆方程联立可得：
，利用
，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，且
，设直线
的方程为：
，与椭圆方程联立可得：
，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、基本不等式的性质，即可求解.
(Ⅰ)由题意：
，
，解得
，
则曲线
的方程为：和.
(Ⅱ)证明：由题意曲线
的渐近线为：
，
设直线，
则联立
，得，
，解得：
，
又由数形结合知
.
设点，
则
，
，
，
，
，即点
在直线
上.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线
，点，
设直线的方程为：，
联立
，得：，
，
设
，
，
，
，
面积
，
令
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
面积的最大值为.
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【题目】2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在
岁之间的200人进行调查．并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间
和
内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”
经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为
，其中“青少年人”中有40人关注“两会”，“中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比是
．
（1）求图中a，b的值；
（2）现采用分层抽样在
和
中随机抽取8名代表，从8人中任选2人，求2人中至少有1个是“中老年人”的概率是多少？
（3）根据已知条件，完成下面的
列联表，并根据此统计结果判断：能否有
的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”？
关注 | 不关注 | 合计 | |
青少年人 | |||
中老年人 | |||
合计 |
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | … | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 0.455 | 0.708 | … | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
