Question

如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程.

(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.

Answer 1

【解析】(1)由题设知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,

由题意得,=1,解得k=0或-,

故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.

(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为

(x-a)²+[y-2(a-2)]²=1.

设点M(x,y),因为MA=2MO,

所以=2,

化简得x²+y²+2y-3=0,即x²+(y+1)²=4,

所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.

由题意知,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,

则|2-1|≤CD≤2+1,

即1≤≤3.

由5a²-12a+8≥0,得a∈R;

由5a²-12a≤0,得0≤a≤.

所以圆心C的横坐标a的取值范围为.