Question

已知为公差不为零的等差数列，首项，的部分项、、 、恰为等比数列，且，，.
（1）求数列的通项公式（用表示）；
（2）设数列的前项和为, 求证：（是正整数

Answer 1

（1）   （2）见解析

试题分析：
（1）由题得a₁,a₅,a₁₇是成等比数列的，所以，则可以利用公差d和首项a来表示，进而得到d的值，得到a_n的通项公式.
（2）利用第一问可以求的等比数列、、 、中的前三项，得到该等比数列的通项公式，进而得到的通项公式，再利用分组求和法可得到S_n的表达式，可以发现为不可求和数列，所以需要把放缩成为可求和数列，考虑利用的二项式定理放缩证明，即，故求和即可证明原不等式.
试题解析：
（1）设数列的公差为，
由已知得，，成等比数列，
∴ ，且           2分
得或  
∵ 已知为公差不为零
∴，                               3分
∴.             4分
（2）由（1）知      ∴         5分
而等比数列的公比.
∴                                6分
因此，
∵
∴                       7分
∴                    9分
∵当时，

∴（或用数学归纳法证明此不等式）
∴               11分
∴当时，，不等式成立；
当时，
 
综上得不等式成立.           14分
法二∵当时，

∴（或用数学归纳法证明此不等式）
∴            11分
∴当时，，不等式成立；
当时，，不等式成立；
当时，
 
综上得不等式成立.           14分
(法三)　利用二项式定理或数学归纳法可得：
所以，时，，

时，　综上得不等式成立.