Question

已知等差数列｛｝的前n项和为Sn，公差d≠0，且S₃=9，a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1)求数列｛｝的通项公式；
（2)设＝，求数列｛｝的前n项和.

Answer 1

（1）a_n＝n＋1；（2）.

试题分析：本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、等比中项等数学知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.第一问，先利用等比中项写出，再用等差数列的通项公式将和展开，用等差数列的前n项和将展开，两式联立，求出和，再写出通项公式即可；第二问，将第一问的结果代入，化简表达式，利用等比数列的定义证明为等比数列，再利用等比数列的前n项和公式计算.
试题解析：(1)，即(a₁＋2d)²＝a₁(a₁＋6d)，化简得，d＝0(舍去)．
∴，得a₁＝2，d＝1.
∴a_n＝a₁＋(n－1)d＝2＋(n－1)＝n＋1，即a_n＝n＋1.（6分）
(2)∵b_n＝2a_n＝2^n＋1，∴b₁＝4，.
∴{b_n}是以4为首项，2为公比的等比数列，
∴.（12分）