Question

若曲线

x2

a-4

+

y2

a+5

=1的焦点为定点，则焦点坐标是

 

．

Answer 1

分析：当 a-4 和 a+5符号相同时，曲线表示焦点在y轴上的椭圆，求出c=3，当 a-4 和 a+5符号相反时，曲线表示焦点在y轴上的双曲线，标准方程为

y2

a+5

- 

x2

4-a

=1，求出c=3，从而得到焦点坐标．

解答：解：曲线

x2

a-4

+

y2

a+5

=1的焦点为定点，当 a-4 和 a+5符号相同时，曲线表示焦点在y轴上的椭圆，
c=

(a+5)-(a-4)

=3，故焦点坐标是 （0，±3）．
当 a-4 和 a+5符号相反时，曲线表示焦点在y轴上的双曲线，标准方程为

y2

a+5

- 

x2

4-a

=1，
双曲线的标准方程为

y2

a+5

- 

x2

4-a

=1，∴焦点在y轴上，c=

(a+5)+(4-a)

=3，
故焦点坐标是 （0，±3）．
故答案为：（0，±3）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，体现了分类讨论的
数学思想，求出c=3，是解题的关键．