Question

若双曲线

x2

a

-

y2

b

=1（a＞0，b＞0）和椭圆

x2

m

+

y2

n

=1（m＞n＞0）有共同的焦点F₁，F₂．P是两条曲线的一个交点，则|PF₁|²+|PF₂|²=（　　）

A．2（m²+a²）

B．2（m+a）

C．4（a+b）

D．4（m-n）

Answer 1

分析：先根据双曲线

x2

a

-

y2

b

=1（a＞0，b＞0）和椭圆

x2

m

+

y2

n

=1（m＞n＞0）有共同的焦点F₁，F₂，根据点P为椭圆和双曲线的一个交点结合定义求出|PF₁|与|PF₂|的表达式，代入即可求出|PF₁|²+|PF₂|²的值．

解答：解：因为双曲线

x2

a

-

y2

b

=1（a＞0，b＞0）和椭圆

x2

m

+

y2

n

=1（m＞n＞0）有共同的焦点F₁，F₂，
设P在双曲线的右支上，左、右焦点F₁、F₂：
利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF₁|+|PF₂|=2

m

①
|PF₁|-|PF₂|=2

a

②
由①②得：|PF₁|=

m

+

a

，|PF₂|=

m

-

a

．
∴|PF₁|²+|PF₂|²=2（m+a）．
故选B．

点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于根据双曲线和椭圆的定义得到|PF₁|与|PF₂|的表达式，属中档题．