Question

6．已知函数y=${2}^{{x}^{2}-6x+7}$．
（1）求函数的定义域、值域；
（2）确定函数的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由二次函数的定义域和值域，即可得到所求函数的定义域和值域；
（2）令t=x²-6x+7，则y=2^t，运用二次函数和指数函数的单调性，结合复合函数的单调性：同增异减，即可得到所求单调区间．

解答 解：（1）函数y=${2}^{{x}^{2}-6x+7}$的定义域为R，
由x²-6x+7=（x-3）²-2≥-2，
即有${2}^{{x}^{2}-6x+7}$≥2^-2=$\frac{1}{4}$，
即有函数的值域为[$\frac{1}{4}$，+∞）；
（2）令t=x²-6x+7，
则y=2^t，
由y=2^t为递增函数，
函数t=x²-6x+7在（-∞，3）递减，在（3，+∞）递增，
则函数y的增区间为（3，+∞），减区间为（-∞，3）．

点评 本题考查函数的定义域和值域的求法，考查复合函数的单调区间的判断：同增异减，属于中档题．