Question

过曲线y=x²(x≥0)上某一点A作一切线l，使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积为，试求：

(1)切点A的坐标；

(2)过切点A的切线l的方程；

(3)上述所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

Answer 1

解：(1)设点A的坐标为(a,a²)，过点A的切线的斜率为k=y′|_x=a=2a，故过点A的切线l的方程为y-a²=2a(x-a)，即y=2ax-a²，令y=0，得x=，

则S_△ABC=··a²=，S_△ABO=dx==，∴S=S_△ABO=S_△ABC==.

∴a=1.

或解：S=dy=(ay+-)=a³=，∴a=1.

∴切点A的坐标为(1，1).

(2)直线方程为y=2x-1.

(3)l与x轴的交点为(,0)，故V=π∫¹₀x⁴dx-

πdx=πx⁵π(2x-1)³=π.