Question

14．已知函数f（x）=e^x-ax-a，若f（x）≥0恒成立，实数a的取值范围是[0，1]．

Answer 1

分析 由f（x）=e^x-ax-a，f'（x）=e^x-a，从而化恒成立问题为最值问题，讨论求实数a的取值范围．

解答 解：由f（x）=e^x-ax-a，f'（x）=e^x-a，
若a＜0，则f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x趋近于负无穷大时，f（x）趋近于负无穷大；
当x趋近于正无穷大时，f（x）趋近于正无穷大，
故a＜0不满足条件．
若a=0，f（x）=e^x≥0恒成立，满足条件．
若a＞0，由f'（x）=0，得x=lna，
当x＜lna时，f'（x）＜0；当x＞lna时，f'（x）＞0，
所以函数f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在x=lna处取得极小值f（lna）=e^lna-a•lna-a=-a•lna，
由f（lna）≥0得-a•lna≥0，
解得0＜a≤1．
综上，满足f（x）≥0恒成立时实数a的取值范围是[0，1]．
故答案为：[0，1]．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的解法，属于中档题．