Question

18．在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的一点，且满足AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{3}$AC，若BE⊥CD，则cosA的最小值是$\frac{2\sqrt{6}}{7}$．

Answer 1

分析 如图所示，不妨设C（3，0），B（x，y），A（0，0）．由AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{3}$AC，可得E（1，0），D$（\frac{x}{2}，\frac{y}{2}）$．由BE⊥CD，可得$\overrightarrow{BE}$$•\overrightarrow{CD}$=0，化为：$（x-\frac{7}{2}）^{2}$+y²=$\frac{25}{4}$．利用直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、同角三角函数基本关系式即可得出．

解答 解：如图所示，不妨设C（3，0），B（x，y），A（0，0）
∵AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{3}$AC，∴E（1，0），D$（\frac{x}{2}，\frac{y}{2}）$．
∵BE⊥CD，
∴$\overrightarrow{BE}$$•\overrightarrow{CD}$=（1-x，-y）•$（\frac{x}{2}-3，\frac{y}{2}）$=$（1-x）（\frac{x}{2}-3）$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=0，
化为：$（x-\frac{7}{2}）^{2}$+y²=$\frac{25}{4}$．圆心G$（\frac{7}{2}，0）$，半径r=$\frac{5}{2}$．
设圆的切线方程为y=kx（取k＞0）．
则$\frac{\frac{7}{2}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{5}{2}$，化为k²=$\frac{25}{24}$，解得k=$\frac{5\sqrt{6}}{12}$．
当AB与⊙G相切时，∠A最大，cosA最小．
此时tanA=$\frac{5\sqrt{6}}{12}$，
∴cosA=$\frac{12}{\sqrt{1{2}^{2}+（5\sqrt{6}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{7}$．
∴cosA的最小值为$\frac{2\sqrt{6}}{7}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{6}}{7}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、向量垂直与数量积的关系、点到直线的距离公式、同角三角函数基本关系式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．