Question

3．已知f（x）=（x-a）（x-b）（x-c），其中a，b，c为常数．
（1）求证：f′（x）=（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）；
（2）若f′（x）≥0恒成立，求证：f（x）的图象关于一定点对称．

Answer 1

分析 （1）根据导数的运算法则计算即可，
（2）由f′（x）≥0恒成立，得到a²+b²+c²≤ab+bc+ac，根据基本不等式的性质，得到a=b=c，继而求出关于点（a，0）对称．

解答 证明（1）f′（x）=（x-a）′（x-b）（x-c）+（x-a）[（x-b）（x-c）]′，
=（x-b）（x-c）+（x-a）[（x-b）′（x-c）+（x-b）（x-c）′]，
=（x-b）（x-c）+（x-a）[（x-c）+（x-b）]，
=（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）；
（2）f′（x）=（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）=x²-（a+b）x+ab+x²-（b+c）x+bc+x²-（a+c）x+ac=3x²-2（a+b+c）x+（ab+ac+bc）；
∵f′（x）≥0恒成立，
∴4（a+b+c）²-12（ab+ac+bc）≤0，
即（a+b+c）²≤3（ab+ac+bc），
∴a²+b²+c²≤ab+bc+ac，
∴2a²+2b²+2c²≤2ab+2bc+2ac，
∵a²+b²≥2|ab|，a²+c²≥2|ac|，c²+b²≥2|bc|，
∴a=b=c，
∴f（x）=（x-a）³，
∴f（x）的图象关于（0，a）定点对称．

点评 本题考查了导数的运算法则，基本不等式，以及图象的对称，属于中档题．