Question

已知函数f（x）=cosx在区间[a，b]上是减函数，且f（a）=1，f（b）=-1，则sin

a+b

2

=（　　）

• A．0
• B．

  2

  2

• C．1
• D．-1

Answer 1

分析：根据函数f（x）=cosx在区间[a，b]上是减函数，且f（a）=1，f（b）=-1，可得[a，b]为函数f（x）=cosx的单调减区间，从而可得

a+b

2

=2kπ+

π

2

（k∈Z），进而可求sin

a+b

2

的值．

解答：解：∵函数f（x）=cosx在区间[a，b]上是减函数，且f（a）=1，f（b）=-1，
∴[a，b]为函数f（x）=cosx的单调减区间
∴a=2kπ，b=2kπ+π（k∈Z）
∴a+b=4kπ+π（k∈Z）
∴

a+b

2

=2kπ+

π

2

（k∈Z）
∴sin

a+b

2

=sin (2kπ+

π

2

)=sin

π

2

=1
故选C．

点评：本题考查的重点是余弦函数的单调性，解题的关键是确定[a，b]为函数f（x）=cosx的单调减区间．