Question

9．若实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-1≥0\\ x-y≤0\\ x+y-4≤0\end{array}\right.$，则$\frac{y}{2x+2}$的最大值为$\frac{3}{4}$，点（x，y）所在的区域的面积为1．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，$\frac{y}{2x+2}$的几何意义是区域内的点到定点（-，1）的斜率的一半，利用数形结合进行求解即可．直接求解可行域的面积即可得到第二问．

解答 解：作出束条件$\left\{\begin{array}{l}x-1≥0\\ x-y≤0\\ x+y-4≤0\end{array}\right.$所对应的可行域（如图阴影），
$\frac{y}{2x+2}$的几何意义是区域内的点到定点P（-1，0）的斜率的一半，
由图象知可知CD的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}x-1=0\\ x+y-4=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=3\end{array}\right.$，即C（1，3），
则$\frac{y}{2x+2}$=$\frac{3}{4}$，
即$\frac{y}{2x+2}$的最大值为$\frac{3}{4}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$．
$\left\{\begin{array}{l}x-1=0\\ x-y=0\end{array}\right.$，可得A（1，1）；$\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y-4=0\end{array}\right.$，可得B（2，2）．
点（x，y）所在的区域的面积为：$\frac{1}{2}$|AC|×（x_B-x_A）=$\frac{1}{2}×2×1$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题．