Question

17．若函数f（x）=$\sqrt{x}$-1n（x+a）（a＞0）在（1，2）上单减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 求导f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{1}{x+a}$=$\frac{（\sqrt{x}-1）^{2}+a-1}{2\sqrt{x}（x+a）}$，从而可得（$\sqrt{x}$-1）²+a-1＜0在（1，2）上恒成立，从而解得．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{x}$-1n（x+a），
∴f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{1}{x+a}$=$\frac{（\sqrt{x}-1）^{2}+a-1}{2\sqrt{x}（x+a）}$，
∵函数f（x）=$\sqrt{x}$-1n（x+a）（a＞0）在（1，2）上单减，
∴f′（x）=$\frac{（\sqrt{x}-1）^{2}+a-1}{2\sqrt{x}（x+a）}$＜0在（1，2）上恒成立，
∴（$\sqrt{x}$-1）²+a-1＜0在（1，2）上恒成立，
∵g（x）=（$\sqrt{x}$-1）²+a-1在（1，2）上单调递增，
故只需使g（2）=（$\sqrt{2}$-1）²+a-1≤0，
解得，a≤2$\sqrt{2}$-2．
故0＜a≤2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题与最值问题．