Question

18．已知A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，△ABC的面积为S，且$\sqrt{3}abcosC=2S$．
（1）求角C的大小；
（2）若$c=\sqrt{6}$，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知及三角形面积公式可得$\sqrt{3}cosC=sinC$，即tanC=$\sqrt{3}$，又C为三角形内角，从而可解得C的值．
（2）由（1）及正弦定理可得：a+b=2$\sqrt{2}$sinA+2$\sqrt{2}$sinB=2$\sqrt{6}$sin（A+$\frac{π}{6}$），由0$＜A＜\frac{2π}{3}$，由正弦函数的性质解得a+b$≤2\sqrt{6}$，从而可求△ABC周长的最大值．

解答 解：（1）∵△ABC的面积为S，$\sqrt{3}abcosC=2×\frac{1}{2}absinC$
∴$\sqrt{3}cosC=sinC$，即tanC=$\sqrt{3}$，
又∵C为三角形内角，
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{6}}{sin\frac{π}{3}}=2\sqrt{2}$，
∵A+B=$\frac{2π}{3}$，
∴a+b=2$\sqrt{2}$sinA+2$\sqrt{2}$sinB
=2$\sqrt{2}$sinA+2$\sqrt{2}$sin（$\frac{2π}{3}-A$）
=3$\sqrt{2}$sinA+$\sqrt{6}$cosA
=2$\sqrt{6}$sin（A+$\frac{π}{6}$）
∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$$＜A+\frac{π}{6}$$＜\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}＜$sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，从而a+b$≤2\sqrt{6}$．
综上：a+b+c$≤3\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．