题目内容

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，则称x₀为函数f（x）不动点．已知函数f（x）=ax²+（b-7）x+18有两个不动点分别是-3和2．
（1）求a，b的值及f（x）的表达式；
（2）试求函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值g（t）．

解：（1）∵f（x）=ax²+（b-7）x+18的不动点是-3和2
∴ax²+（b-8）x+18=0的两个根是-3和2
∴ $\text{[math]}$
∴f（x）=-3x²-2x+18…（6分）
（2）①当 $\text{[math]}$ 时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，g（t）=-3t²-2t+18
②当 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，g（t）=-3t²-8t+13
③当 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 时，f（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递增，在 $\text{[math]}$ 递减，
∴ $\text{[math]}$ …（12分）
综上可知： $\text{[math]}$ …（13分）
分析：（1）直接利用定义把条件转化为ax²+（b-8）x+18=0的两个根是-3和2，即可求a，b的值及f（x）的表达式；
（2）先对字母t进行分类讨论，再结合二次的单调性即可求函数f（x）的最大值g（t）．
点评：本题以新定义为载体，考查函数的解析式，考查二次函数在闭区间上的最值问题．

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