题目内容

对于函数f（x），若f（x0）=x0，则称x0为f（x）的：“不动点”；若f[f（x0）]=x0，则称x0为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f[f（x）]=x}．
（1）设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且A=∅，求证：B=∅；
（2）设函数f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根据（1）（2）中的结论判断A=B恒成立？若能，请给出证明，若不能，请举以反例．
分析：（1）由已知中不动点的定义，由函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）结合二次方程的根的个数与△的关系，可得结论；
（2）由已知中不动点的定义，由函数f（x）=3x+4，求出集合A和B，另可举出反例f（1）=1，f（2）=3，f（3）=2，推翻结论A=B恒成立
解答：解：∵A={x|f[f（x）]=x}=∅，
∴ax2+bx+c=x无解
即△=（b-1）2-4a＜0
①当a＞0时，二次函数y=f（x）-x，即y=ax2+（b-1）x+c的图象在x轴的上方
∴?x∈R，f（x）-x恒成立
∴?x∈R，f（x）＞x恒成立
∴?x∈R，f[f（x）]＞f（x）＞x恒成立，即B=∅；
②当a＜0时，同理可证B=∅；
综上，对于函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），当A=∅时，B=∅；
（2）由f（x）=x，f（x）=3x+4得3x+4=x，解得x=-2
由f[f（x）]=x得3（3x+4）+4=x，解得x=-2
∴A=B={-2}
但A=B不能恒成立，如f（x）为如下对应关系时：
f（1）=1，f（2）=3，f（3）=2
则有A={1}，B={1，2，3}使A≠B
点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数的性质，其中正确理解不动点的定义是解答的关键，另外举反例难度较大．
练习册系列答案
相关题目
对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：
①f（x）=（x-1）2；②f（x）=|2x-1|；③f(x)=cos
π2
x；④f（x）=ex．其中存在“稳定区间”的函数有
 
（填出所有满足条件的函数序号）
对于函数f（x），若在其定义域内存在两个实数a，b（a＜b），使当x∈[a，b]时，f（x）的值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“科比函数”．若函数f（x）=k+
x+2
是“科比函数”，则实数k的取值范围是
 
．
对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数
f（x）=ax2+bx+1（a＞0）有两个相异的不动点x1，x2．
（1）若x1＜1＜x2，且f（x）的图象关于直线x=m对称，求证：
12
＜m＜1；
（2）若|x1|＜2且|x1-x2|=2，求b的取值范围．
对于函数f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的不动点．若函数f（x）=
x2+a
bx-c
（b，c∈N*）有且仅有两个不动点0和2，且f（-2）＜-
1
2
．
（1）试求函数f（x）的单调区间，
（2）已知各项不为0的数列{an}满足4Sn•f（
1
an
）=1，其中Sn表示数列{an}的前n项和，求证：(1-
1
an
)an+1＜
1
e
＜(1-
1
an
)an
（3）在（2）的前题条件下，设bn=-
1
an
，Tn表示数列{bn}的前n项和，求证：T2011-1＜ln2011＜T2010．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网