题目内容
两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，得数列{an}，则an-an-1=
3n-2（n≥2）
3n-2（n≥2）
．
分析：根据题目所给出的五角形数的前几项，发现该数列的特点是，从第二项起，每一个数与前一个数的差构成了一个等差数列，由此可得结论．
解答：解：a2-a1=5-1=4，a3-a2=12-5=7，a4-a3=22-12=10，…，
由此可知数列{an+1-an}构成以4为首项，以3为公差的等差数列．
所以an+1-an=4+3（n-1）=3n+1．
所以an-an-1=3（n-1）+1=3n-2（n≥2）
故答案为：3n-2（n≥2）
由此可知数列{an+1-an}构成以4为首项，以3为公差的等差数列．
所以an+1-an=4+3（n-1）=3n+1．
所以an-an-1=3（n-1）+1=3n-2（n≥2）
故答案为：3n-2（n≥2）
点评：本题考查了等差数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是能够由数列的前几项分析出数列的特点，属于中档题．
练习册系列答案
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两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2013项为a2013，则a2013-5=（ ）
，第2个五角形数记作
，第3个五角形数记作
，第4个五角形数记作
，……，若按此规律继续下去，则
，若
，则
．
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