Question

已知x，y均为正数，且x≠y，则下列四个数中最大的一个是（　　）

• A．

  1

  2

  （

  1

  x

  +

  1

  y

  ）
• B．

  1

  x+y

• C．

  1

  xy

• D．

  1 2(x2+y2)

Answer 1

分析：先取特殊的x、y值，分别代入计算，得最大的数是

1

2

(

1

x

+

1

y

)，接下来再用基本不等式和作差比较的方法，逐个加以比较大小，可以证出四个数中最大是

1

2

(

1

x

+

1

y

)．

解答：解：先取x=1，y=2，得

1

2

(

1

x

+

1

y

)=

3

4

，

1

x+y

=

1

3

，

1

xy

=

2

2

，

1 2(x2+y2)

=

10

10

可得最大的数是

1

2

(

1

x

+

1

y

)，接下来加以证明
∵x，y均为正数，且x≠y，
∴x+y＞2

xy

，可得

1

x+y

＜

1

2 xy

＜

1

xy

∵x²+y²＞2xy，得2（x²+y²）＞4xy
∴

1

4xy

＞

1

2(x2+y2)

＞0，开方得

1

2 xy

＞

1 2(x2+y2)

因此，

1

xy

＞

1 2(x2+y2)

∵

1

2

(

1

x

+

1

y

)-

1

xy

=

( x - y )2

2xy xy

＞0
∴

1

2

(

1

x

+

1

y

)＞

1

xy

，
综上所述，四个数中最大的一个是

1

2

(

1

x

+

1

y

)
故选A

点评：本题给出互不相等的正数x、y，叫我们比较关于x、y的四个式子的大小关系，考查了基本不等式和作差法比较大小的知识，属于基础题．