题目内容
（2013•镇江二模）已知x，y均为正数，θ∈(
，
)，且满足
=
，
+
=
，则
的值为
．
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| sinθ |
| x |
| cosθ |
| y |
| cos2θ |
| x2 |
| sin2θ |
| y2 |
| 10 |
| 3(x2+y2) |
| x |
| y |
| 3 |
| 3 |
分析：由
+
=
，两边同乘以x2+y2得到
+
=
；把
=
代入上式得
+
=
，可化为
=
，
利用立方和公式可以把cos6θ+sin6θ化为1-3sin2θcos2θ，可化为sin2θcos2θ=
，与sin2θ+cos2θ=1联立
，即可解得sin2θ与cos2θ．再根据θ∈(
，
)得0＜cosθ＜
＜sinθ＜1，即可得出sinθ与cosθ，即可求出答案．
| cos2θ |
| x2 |
| sin2θ |
| y2 |
| 10 |
| 3(x2+y2) |
| y2cos2θ |
| x2 |
| x2sin2θ |
| y2 |
| 7 |
| 3 |
| sinθ |
| x |
| cosθ |
| y |
| cos4θ |
| sin2θ |
| sin4θ |
| cos2θ |
| 7 |
| 3 |
| cos6θ+sin6θ |
| sin2θcos2θ |
| 7 |
| 3 |
利用立方和公式可以把cos6θ+sin6θ化为1-3sin2θcos2θ，可化为sin2θcos2θ=
| 3 |
| 16 |
|
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| ||
| 2 |
解答：解：∵
+
=
，∴(x2+y2)(
+
)=
，化为
+
=
，（*）
∵
=
，
∴
=
，
=
，代人（*）得
+
=
，
化为
=
，
∵cos6θ+sin6θ=（cos2θ+sin2θ）（cos4θ+sin4θ-sin2θcos2θ）=1×[（cos2θ+sin2θ）2-3sin2θcos2θ]=1-3sin2θcos2θ，
∴
=
，
化为sin2θcos2θ=
，与sin2θ+cos2θ=1联立
，解得
或
．
由θ∈(
，
)得0＜cosθ＜
＜sinθ＜1．故取
．解得
，∴
=
=
．
故答案为
．
| cos2θ |
| x2 |
| sin2θ |
| y2 |
| 10 |
| 3(x2+y2) |
| cos2θ |
| x2 |
| sin2θ |
| y2 |
| 10 |
| 3 |
| y2cos2θ |
| x2 |
| x2sin2θ |
| y2 |
| 7 |
| 3 |
∵
| sinθ |
| x |
| cosθ |
| y |
∴
| x |
| y |
| sinθ |
| cosθ |
| y |
| x |
| cosθ |
| sinθ |
| cos4θ |
| sin2θ |
| sin4θ |
| cos2θ |
| 7 |
| 3 |
化为
| cos6θ+sin6θ |
| sin2θcos2θ |
| 7 |
| 3 |
∵cos6θ+sin6θ=（cos2θ+sin2θ）（cos4θ+sin4θ-sin2θcos2θ）=1×[（cos2θ+sin2θ）2-3sin2θcos2θ]=1-3sin2θcos2θ，
∴
| 1-3sin2θcos2θ |
| sin2θcos2θ |
| 7 |
| 3 |
化为sin2θcos2θ=
| 3 |
| 16 |
|
|
|
由θ∈(
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| ||
| 2 |
|
|
| x |
| y |
| sinθ |
| cosθ |
| 3 |
故答案为
| 3 |
点评：本题综合考查了三角函数的恒等变形、单调性、平方关系、立方和公式、配方法、方程思想等基础知识与基本方法，需要较强的推理能力和变形能力、计算能力．
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