Question

11．已知直线l₁：x+2y-5=0与直线l₂：mx-ny+5=0（n∈Z）相互垂直，点（2，5）到圆C：（x-m）²+（y-n）²=1的最短距离为3，则mn=2．

Answer 1

分析 由直线l₁与直线l₂相互垂直，得到m-2n=0，由点（2，5）到圆C：（x-m）²+（y-n）²=1的最短距离为3，得到$\sqrt{（2-m）^{2}+（5-n）^{2}}$=3+1，联立方程组能求出m，n，由此能求出mn．

解答 解：∵直线l₁：x+2y-5=0与直线l₂：mx-ny+5=0（n∈Z）相互垂直，
∴依题意，m-2n=0，①
∵点（2，5）到圆C：（x-m）²+（y-n）²=1的最短距离为3，
∴$\sqrt{（2-m）^{2}+（5-n）^{2}}$=3+1，②
联立①②，解得m=2，n=1，
∴mn=2．
故答案为：2．

点评 本题考查两数积的求法，考查圆、直线方程、点到直线的距离公式、直线与直线垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．