Question

20．已知实数x、y满足（x+1）²+（y-2）²=16，求3x+4y的最值．

Answer 1

分析 推导出$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+4cosθ}\\{y=2+4sinθ}\end{array}\right.$，（θ是参数），从而3x+4y=20sin（θ+α）+5，（tanα=$\frac{3}{4}$），由此能求出3x+4y最大值和最小值．

解答 解：∵实数x、y满足（x+1）²+（y-2）²=16，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+4cosθ}\\{y=2+4sinθ}\end{array}\right.$，（θ是参数），
∴3x+4y=-3+12cosθ+8+16sinθ=20sin（θ+α）+5，（tanα=$\frac{3}{4}$），
当sin（θ+α）=1时，3x+4y取得最大值25，
当sin（θ+α）=-1时，3x+4y取得最小值-15，
∴3x+4y最大值为25，最小值为-15．

点评 本题考查代数式的最值的求法，考查圆的参数方程、三角函数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．