Question

8．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$过点（0，-2），F₁，F₂分别是其左、右焦点，O为坐标原点，点P是椭圆上一点，PF₁⊥x轴，且△OPF₁的面积为$\sqrt{2}$，
（1）求椭圆E的离心率和方程；
（2）设A，B是椭圆上两动点，若直线AB的斜率为$-\frac{1}{4}$，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：b=2．由PF₁⊥x轴，把x=c代入题意可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=$±\frac{{b}^{2}}{a}$．可得$\frac{1}{2}×c×\frac{{b}^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=e，又a²=b²+c²，联立解得a²，c．即可得出．
（2）设直线AB的方程为：y=-$\frac{1}{4}$x+t，与椭圆方程联立可得：9x²-8tx+16t²-64=0．△＞0，利用根与系数的关系可得：|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．点O到直线AB的距离d=$\frac{4|t|}{\sqrt{17}}$．可得S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：b=2．由PF₁⊥x轴，把x=c代入题意可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=$±\frac{{b}^{2}}{a}$．
∵△OPF₁的面积为$\sqrt{2}$，∴$\frac{1}{2}×c×\frac{{b}^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=e，又a²=b²+c²，
联立解得a²=8，c=2．
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）设直线AB的方程为：y=-$\frac{1}{4}$x+t，与椭圆方程联立可得：9x²-8tx+16t²-64=0．
△=64t²-36（16t²-64）＞0，解得$-\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜t＜$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴x₁+x₂=$\frac{8t}{9}$，x₁•x₂=$\frac{16{t}^{2}-64}{9}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{16}}$•$\sqrt{\frac{64{t}^{2}}{81}-\frac{4}{9}（16{t}^{2}-64）}$=$\frac{4\sqrt{17}}{9}$$\sqrt{9-2{t}^{2}}$．
点O到直线AB的距离d=$\frac{4|t|}{\sqrt{17}}$．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{8}{9\sqrt{2}}$$\sqrt{2{t}^{2}（9-2{t}^{2}）}$≤$\frac{8}{9\sqrt{2}}$×$\frac{2{t}^{2}+9-2{t}^{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$．当且仅当t=$±\frac{3}{2}$时取等号，满足△＞0．
∴△OAB面积的最大值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．