Question

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．

（1）求证：平面⊥平面；

（2）若满足，求异面直线与所成角的余弦值；

（3）若二面角大小为60°，求的长．

Answer 1

解答：（Ⅰ）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，

∴CD // BQ ．                                  

∵∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD，                    

∴BQ⊥平面PAD．                               

∵BQ平面MQB，

∴平面MQB⊥平面PAD．          

（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点， 

∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且

平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．                 

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则，，，，

由 ，且，得

∵，

∴                          …………6分

∴

设异面直线AP与BM所成角为

则=               

∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为              

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BQC的法向量为               

由 ，且，得

又，

∴ 平面MBQ法向量为．                   

∵二面角M-BQ-C为30°，  ∴，

∴ ．∴