Question

19．在三棱锥P-ABC中，D为底面ABC的边AB上一点，M为底面ABC内一点，且满足$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$，则三棱锥P-AMD与三棱锥P-ABC的体积比 $\frac{{{V_{P-AMD}}}}{{{V_{P-ABC}}}}$为（　　）

• A． $\frac{9}{25}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{9}{16}$
• D． $\frac{9}{20}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，结合向量等式可得AD=$\frac{3}{4}AB$，DM=$\frac{3}{5}BC$，且∠ABC=∠ADM，进一步得到△ADM与△ABC面积的关系得答案．

解答 解：如图，

设三棱锥P-ABC的底面三角形ABC的面积为S，高为h，
∵$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$，
∴AD=$\frac{3}{4}AB$，DM=$\frac{3}{5}BC$，且∠ABC=∠ADM，
∴${S}_{△ADM}=\frac{1}{2}AD•DM•sin∠ADM$=$\frac{1}{2}•\frac{3}{4}AB•\frac{3}{5}BC•sin∠ABC=\frac{9}{20}S$．
∴$\frac{{{V_{P-AMD}}}}{{{V_{P-ABC}}}}$=$\frac{\frac{1}{3}•\frac{9}{20}S•h}{\frac{1}{3}•S•h}=\frac{9}{20}$．
故选：D．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查平面向量在求解立体几何问题中的应用，是中档题．