题目内容

△ABC中，a，b，c分别是角A．B，C的对边，且有sin2C+ $数学公式$ cos（A+B）=0，若a=4，c= $数学公式$ ，求△ABC的面积．

解：△ABC中，sin2C+ $\text{[math]}$ cos（A+B）=0，
∴sin2C+ $\text{[math]}$ cos（π-C）=0，
∴2sinCcosC= $\text{[math]}$ cosC，
∴cosC=0 或 sinC= $\text{[math]}$ ．
再由a=4，c= $\text{[math]}$ ，可得 C≠ $\text{[math]}$ ，∴C= $\text{[math]}$ ．
再由余弦定理可得 13=16+b²-8b•cos $\text{[math]}$ ，解得 b=1，或 b= $\text{[math]}$ ．
当b=1时，△ABC的面积为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，当b= $\text{[math]}$ 时，△ABC的面积为 $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ．
分析：由已知等式求得 cosC=0 或 sinC= $\text{[math]}$ ．再由a=4，c= $\text{[math]}$ ，可得 C= $\text{[math]}$ ．由余弦定理求得 b的值，再代入△ABC的面积公式 $\text{[math]}$ ，运算求得结果．
点评：本题主要考查余弦定理的应用，诱导公式的应用，属于中档题．