Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：当x＞1时，f（x）-

2

3

x³+（a+1）lnx＜0．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f′（x）=x-

a

x

，分情况讨论：a≤0时易求单调区间；a＞0时在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）f（x）-

2

3

x³+（a+1）lnx=-

2

3

x³+

1

2

x2+lnx，设g（x）=

2

3

x³-

1

2

x2-lnx，只证g（x）＞0即可，利用导数可判断函数g（x）的单调性，由单调性可得g（x）＞g（1）=0，得到结论；

解答： 解：（Ⅰ）依题意知函数的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x-

a

x

，
①当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
②当a＞0时，f′（x）=x-

a

x

=

(x+ a )(x- a )

x

，
令f′（x）＞0，得x＞

a

，故函数f（x）的单调递增区间为（

a

，+∞）；
令f′（x）＜0，得0＜x＜

a

，故函数f（x）的单调递减区间为（0，

a

）．
（Ⅱ）f（x）-

2

3

x³+（a+1）lnx=-

2

3

x³+

1

2

x2+lnx，
设g（x）=

2

3

x³-

1

2

x2-lnx，则g′（x）=2x²-x-

1

x

，
∵当x＞1时，g′（x）=

(x-1)(2x2+x+1)

x

＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴g（x）＞g（1）=

1

6

＞0，
∴当x＞1时，f（x）-

2

3

x³+（a+1）lnx＜0．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立问题，考查转化思想，恰当构造函数是解题关键．