题目内容

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，O是AC与BD的交点，E是B1B上一点，且B₁E= $数学公式$ ．
（Ⅰ）求证：B₁D⊥平面D₁AC；
（Ⅱ）求异面直线D₁O与A₁D所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线D₁O与平面AEC所成角的正弦值．

解：（Ⅰ）如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．
则D（0，0，0），C（0，2，0），A（2，0，0），B₁（2，2，2），D₁（0，0，2）
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
又AC与AD₁交于A点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴B₁D⊥平面D₁AC．（4分）
（Ⅱ）设A₁D与D₁O所成的角为θ．D₁（0，0，2），O（1，1，0），A₁（2，0，2）．
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
所求异面直线A₁D与D₁O所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ．（9分）
（Ⅲ）设平面AEC与直线D₁O所成的角为?．
设平面AEC的法向量为n=（x，y，z）． $\text{[math]}$ ，C（0，2，0），A（2，0，0）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$
令z=1，则 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
所求平面AEC与直线D₁O所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：由于是正方体所以建立空间直角坐标系解题简洁
（Ⅰ）求出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即可证明B₁D，垂直平面D₁AC内的两条相交直线AC与AD₁，就证明了B₁D⊥平面D₁AC．
（（Ⅱ）求向量D₁O与向量A₁D，的数量积，即可求出异面直线D₁O与A₁D所成角的余弦值；
（Ⅲ）求平面AEC的法向量为n，再求出 $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ ，即可求直线D₁O与平面AEC所成角的正弦值．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，异面直线所成的角，直线与平面所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．